r_1

r_2

v'

Je\ dána\ výška\ komolého\ rotačního\ kužele\ v,\ poloměr\ větší\
podstavy\ r_1,\ délka\ strany\ komolého\ kužele\ s.\ Určete:\
a)\ poloměr\ r_2\ druhé\ podstavy\ komolého\ kužele,\
b)\ odchylku\ α\ strany\ komolého\ kužele\ a\ roviny\ podstavy,\
c)\ výšku\ v‘\ kužele,\ z\ něhož\ komolý\ kužel\ vznikl.

Zadání

Řešení

1) osový řez

A

B

S_1

S_2

v

D

C

V

s

r_1

r_2

v'

2) výpočet r_2

Posunutím\ výšky\ do\ bodu\ K\ dostaneme ΔCBK\ v\ němž\ známe\ s = |CB|\ a\ v = |KC|\
Z\ Pythágorovy\ věty: s^2 = v^2 + x^2.\
x = \sqrt{s^2-v^2}.\
Potom\ r_2 = r_1 - x = r_1-\sqrt{s^2-v^2}

x

α

3) odchylka α strany a podstavy

Využijeme\ pousunutí\ výšky.\ Protože ΔCBK\ je\ pravoúhlý\ platí:
sin\,α = \frac{v}{s}.\
α = sin^{-1}\frac{v}{s}

4) výpočet v'

Využijeme\ podobnosti\ Δ.\
ΔBKC ∼ΔBS_1V\
\frac{|KC|}{|KB|}=\frac{|S_1V|}{|S_1B|}\
|S_1V| = \frac{v·r_1}{\sqrt{s^2-v^2}} = v'

Příklad

Je\ dána\ výška\ komolého\ rotačního\ kužele\ v = 15\,cm,\ poloměr\ větší\
podstavy\ r_1 = 32\,cm,\ délka\ strany\ komolého\ kužele\ s = 25\,cm.\ Určete:\
a)\ poloměr\ r_2\ druhé\ podstavy\ komolého\ kužele,\
b)\ odchylku\ α\ strany\ komolého\ kužele\ a\ roviny\ podstavy,\
c)\ výšku\ v‘\ kužele,\ z\ něhož\ komolý\ kužel\ vznikl.

Řešení příkladu

Využijeme\ předchozích\ obecných\ výpočtů\ a\ pouze\ dosadíme\ hodnoty.

r_1 = 28 (slider from 0 to 50, step 2)
S_1 = (3.9609670058071753, -3.3722313284116865, -18.248342334370903)
c = Circle(S_1, r_1, xOyPlane)
f = OrthogonalLine(S_1, c)
v = 18 (slider from 0 to 45, step 1)
g = Line(S_1, xAxis)
B, A = Intersect(g, c)
s = 25 (slider from 0 to 50, step 5)
S_1B = Segment(S_1, B)
D_1 = (-15.63185714285715, -5.496571428571439)
G = Point(Circle[D_1, s])
m = Segment(D_1, G)
H = Midpoint(D_1, G)
d = Circle(H, D_1)
p = Circle(G, v)
I = Intersect(d, p, 1)
n = Segment(I, D_1)
o = Length(n)
J = (-17.083857142857152, -18.772)
K_2 = (-2.77128571428572, -18.66828571428574)
q = Ray(J, K_2)
L = (-5.779, -26.965428571428603)
r = Ray(J, L)
t = Circle(J, 1)
c_1 = Circle(J, r_1)
d_1 = Circle(J, v)
M = Intersect(d_1, q, 1)
N = Intersect(c_1, r, 1)
O = Intersect(t, r, 1)
f_1 = Segment(O, M)
g_1 = Line(N, f_1)
P = Intersect(q, g_1)
u = Distance(P, J)
Q = (3.9182857142857097, -12.445428571428591)
R = (10.919, -12.497285714285733)
h_1 = Ray(Q, R)
S = (8.118714285714281, -17.890428571428597)
i_1 = Ray(Q, S)
e_1 = Circle(Q, 1)
k_1 = Circle(Q, o)
p_1 = Circle(Q, u)
T = Intersect(p_1, h_1, 1)
U = Intersect(k_1, i_1, 1)
V_1 = Intersect(e_1, i_1, 1)
j_1 = Segment(U, T)
l_1 = Line(V_1, j_1)
W = Intersect(h_1, l_1)
v' = Distance(Q, W)
a, V_2, b = Cone(c, v')
h = Sphere(S_1, v)
C_1, S_2 = Intersect(f, h)
i = Plane(S_2, c)
k = IntersectPath(i, a)
j = Line(S_2, S_1B)
D, C = Intersect(j, b)
EZ = Segment(S_2, C)
text2: "v'=\frac{v·r_1}{\sqrt{s²-v²}}\\
v'=\frac{" + (LaTeX[v]) + "·" + (LaTeX[r_1]) + "}{\sqrt{" + (LaTeX[s]) + "²-" + (LaTeX[v]) + "²}}\\
v'=" + (LaTeX[v']) + "\ cm"
E = Point(V_2)
V = Point(V_2)
VS_1 = Segment(V, S_1)
F = (-38.62634580104229, -30.547882428637077)
Z = Point(Circle[F, r_1])
l = Segment(F, Z)
A_1 = Point(Circle[F, o])
e = Segment(F, A_1)
w = Distance(A_1, Z)
text1: "r_2= r_1-\sqrt{s²-v²}\\
r_2 = " + (LaTeX[r_1]) + "-\sqrt{" + (LaTeX[s]) + "²-" + (LaTeX[v]) + "²}\\
r_2=" + (LaTeX[w]) + "\ cm"
α = Angle(S_1, A, V)
m_1 = Segment(A, S_1)
n_1 = Segment(V, A)
text3: "sinα = \frac{v}{s}\\
sinα=\frac{" + (LaTeX[v]) + "}{" + (LaTeX[s]) + "}\\
α=" + (LaTeX[α]) + ""
a_1 = true
b_1 = false
o_1 = false
B_1 = (-36.48729594198072, -61.207597075186555)
q_1 = Line(B_1, xAxis)
E_1 = Point(Circle[B_1, (2 * r_1)])
s_1 = Segment(B_1, E_1)
F_1 = Midpoint(B_1, E_1)
t_1 = OrthogonalLine(F_1, s_1)
c_2 = Circle(F_1, v)
G_1 = Intersect(c_2, t_1, 2)
f_2 = Segment(G_1, F_1)
g_2 = Line(G_1, s_1)
d_2 = Circle(G_1, w)
H_1, I_1 = Intersect(d_2, g_2)
e_2 = Circle(F_1, v')
J_1 = Intersect(e_2, t_1, 2)
mnohoúhelník1, j_2, b_2, e_3 = Polygon(B_1, E_1, J_1)
h_2 = Segment(H_1, I_1)
i_2 = Segment(I_1, E_1)
k_2 = Segment(H_1, B_1)
l_2 = Segment(H_1, J_1)
m_2 = Segment(J_1, I_1)
n_2 = Segment(G_1, J_1)
p_2 = Segment(F_1, E_1)
q_2 = Segment(G_1, I_1)
r_2 = Segment(J_1, F_1)
u_1 = false
s_2 = OrthogonalLine(I_1, h_2)
K = Intersect(s_2, s_1)
t_2 = Segment(I_1, K)
a_2 = Segment(K, E_1)
β = Angle(I_1, E_1, F_1)
v_1 = false
w_1 = false
f_3 = Line(G_1, m_2)
o_2 = false
u_2 = false